Как обойтись без уравнения Шредингера?

Представьте себе волновую функцию, как вектор в бесконечномерном гильбертовом пространстве с базисом, состоящим из ортогональных собственных функций некоторого квантовомеханического оператора, который мы будем называть Номером Один. Тогда оператор, который мы будем называть Номером Два, может быть записан как матрица, умножение которой на столбец координат его собственной функции в этом базисе дает столбец его собственных значений. Будучи физически наблюдаемыми, они должны оставаться неизменными и в других (повернутых) базисах. Это верно и для базиса, состоящего из собственных функций Номера Два, где его матрица диагональна. Поворачивая базис таким образом и накладывая физическое условие наличия решения для собственных функций, мы приходим к системе линейных уравнений и решаем ее. Так что, в отличие от волнового формализма, матричный формализм дает собственные значения алгебраически, как корни полиномиального уравнения. Теперь математически, почему же собственные значения не меняются при повороте базиса. Такие преобразования координат известны как канонические, а их операторы (тоже матрицы) называются унитарными поскольку их определитель имеет единичное абсолютное значение. Чтобы переписать матрицу Номер Два на новый базис, мы должны «обернуть» ее оператором преобразования слева и его эрмитовым сопряженным справа. А новый набор координат вектора (волновой функции) получается умножением старого набора на матрицу обратного преобразования. Для унитарных матриц, последняя совпадает со своей эрмитовой сопряженной по определению. Написанные таким образом, оператор преобразования и его эрмитово сопряженный сворачиваются в тождественный оператор, поэтому мы возвращаемся к виду уравнения до поворота с теми же собственными значениями. Кроме того, переписывание на новый базис сохраняет неизменными след матриц и справедливыми все матричные уравнения, коммутативность в том числе. Это позволяет двум физическим величинам иметь определенные значения независимо от базиса.

Как изменятся координаты вектора при повороте базиса

Когда базис поворачивается, скалярное произведение остается неизменным, поскольку угол между векторами неизменен, как и их длины. Это сохраняет нормировку волновой функции и средние значения физических величин.

нравится(0)не-а(0)

Добавить комментарий