Первое, что не смог предсказать второй закон Ньютона, — это расстояния между возможными орбиталями электрона в атоме. Энергетический спектр электрона оказался разрывным, поэтому новое уравнение должно было дать дискретный набор решений. В математике такой набор появляется как последовательность собственных значения, когда функциональный оператор применяется к его собственным функциям. Эрвин Шредингер хорошо разбирался в математике, поэтому он написал уравнение для операторов, набор собственных значений которых представляет собой дискретный спектр энергии. Там он сохранил классическую связь между энергией и импульсом, используя в качестве их операторов производные по времени и координате соответственно. Для стационарных состояний уравнение Шредингера сводится к дифференцированию только по координатам. В области пространства, где потенциальная энергия системы отсутствует, уравнение имеет простейшую структуру, похожую на уравнение Ньютона, описывающее колебания маятника или пружины. Собственными решениями являются гармонические функции кратных координат с деталями, определяемыми граничными условиями. Их собственные значения и составляют дискретный набор энергии. Если же потенциал зависит от координат, уравнение Шредингера становится более сложным, но его можно решить аналитически для ряда практически интересных потенциалов. Например, для квантового гармонического осциллятора собственными решениями являются полиномы Чебышева-Эрмита. Помимо набора дискретных энергетических уровней, они еще дают ненулевую вероятность того, что осциллятор данной энергии находится за пределами классически возможной области пространства.

Кроме того, наименьшее собственное значение энергии оказывается не равно нулю. Это означает, что, в отличие от классического осциллятора, квантовый не может находиться в состоянии покоя, что согласуется с принципом неопределенности Гейзенберга.

нравится(0)не-а(0)